Симметрические многочлены

По определению,

следовательно, при имеем

для произвольного натурального Суммируя по всем получаем

Таким образом, мы показали, что уравнение обращается в верное при

(a) При тождество очевидным образом получается из присваивания

в тождестве для

(b) Пусть теперь Обозначим через и соответственно левую и правую части тождества. Из выполнения тождества при следует, что

Однако из этого следует, что разность представима в виде для любого (если бы не была, то при каких-то разность была бы ненулевой и одно из равенств, обозначенных выше, не выполнялось бы). Следовательно, разность представима в виде однако это невозможно так как полная степень и и равна Аналогичные рассуждения для дают индукционный переход и доказывают тождества для произвольного

(c) Покажем, что все элементарные симметрические многочлены, кроме, быть может произведения, делятся на как целые числа. Доказательство проведем по индукции. База для верна по условию. Переход будет следовать из предыдущих пунктов.

Рассмотрим многочлен над Из только, что доказанного следует, что все его коэффициенты равны по модулю кроме, быть может, свободного члена, откуда следует, что все его корни совпадают, то есть мы получили, что дают одинаковые остатки при делении на что и требовалось доказать.