Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Логарифмы на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68968

а) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a ⋅log2b =log2ab?

б) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a +log2b =log2(a+ b)?

в) Могут ли при каких-то $a,b$ выполняться оба равенства?

Источники: КФУ-2023, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!

Подсказка 2

У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.

Подсказка 3

Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.

Подсказка 4

Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...

Подсказка 5

У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...

Показать ответ и решение

Ясно, что числа $a$ и $b$ положительны.

a) Условие можно переписать в виде $log2(a)⋅log2(b)= log2(a)+ log2(b)$ . Если $log2(a) ⁄=1$ , то $log2a-- x =log2b = log2a−1$ , $x b= 2$ . Например, при $a = 4$ имеем $log2a =2$ , $2-- x = 2−1 =2$ , $b= 4$ .

б) Равенство сводится к соотношению $ab= a+ b$ . Например, при $a = 4$ получаем, что $-a- 4 b= a−1 = 3$

в) Условие вида $xy = x+ y$ можно переписать в виде $(x− 1)(y− 1)= 1$ . Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются. Заданные неравенства можно переписать в виде

{ (log2(a)− 1)(log2(b)− 1)= 1 ab =a+ b

Из первого равенства следует, что $log a− 1 2$ и $log b− 1 2$ имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда $a >2,b> 2$ ), либо оба отрицательны ( $a< 2,b< 2$ ). В силу положительности чисел $a$ и $-a- b= a−1$ имеем $a> 1$ .

Если $a> 2$

1 1 a− 1 >1;a−-1 < 1;b= 1+ a− 1-< 2

Если $1< a< 2$

0< a− 1< 1;a1− 1-> 1;b= 1+ a1−-1 > 2

Пришли к противоречию.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет