Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Многочлены на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127228

Пусть $a,b,c$ — корни многочлена $P (x)= x3+ x2− 2x− 1.$ Найдите $a2b2+ a2c2+ b2c2.$

Источники: ШВБ - 2025, 10.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько действительных корней будет иметь многочлен P(x)?

Подсказка 2

Можно доказать, что 3, рассмотрев его положительность и отрицательность в разных точках.

Подсказка 3

Если a, b и c — корни P(x), как можно попробовать получить a²b² + b²c² + a²c²?

Подсказка 4

Попробуйте рассмотреть многочлен P(x) ⋅ (-P(-x)).

Подсказка 5

Корнями этого многочлена относительно x² будут a², b² и c². Получите желаемую сумму через теорему Виета.

Показать ответ и решение

Заметим, что

P(−10)<0, P(− 1)>0, P (0)< 0, P(10)> 0

Следовательно, многочлен $P(x)$ имеет 3 действительных корня.

3 2 3 2 P(x)⋅(−P(−x))=(x + x − 2x − 1)(x − x − 2x +1)=

=(x3− 2x +x2− 1)(x3− 2x− x2+ 1)= (x3− 2x)2 − (x2− 1)2 =

=x6− 5x4+ 6x2− 1= Q(x2)

Многочлен

Q (y)= y3− 5y2+ 6y− 1

имеет корни $a2,$ $b2$ и $c2.$ По теореме Виета

a2b2+a2c2+ b2c2 = 6

Ответ:

$6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69234

Докажите, что многочлен $P(t)=t3− 2t2− 10t− 3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $2 2 2 2 22 u = xy z,v =x z y,w = yz x,$ где $x,y,z$ — различные корни многочлена $P (t).$

Источники: ШВБ-2023, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Первый вопрос, подсказка 1

Раз нас просят доказать существование корней, то находить их самих необязательно. Что значит существование корня с точки зрения графика? Это значит, что он пересекает ось x. (Конечно, он может и касаться его, но тогда это будет кратный корень, отсутствие которого вы можете легко проверить) Исходя из этого, какое условие нужно проверить? Возможно, вы даже знаете теорему, связанную с этим вопросом.

Первый вопрос, подсказка 2

Верно, если многочлен пересекает ось x, то значит, что до этого он принимал значение одного знака, а после корня — другого. Вам осталось только найти подходящие точки и проверить знак многочлена в них, чтобы он был различным. Тогда между этими точками и лежат различные корни. Это и есть теорема о промежуточном значении, а точнее следствие из неё.

Второй вопрос, подсказка 3

Нас просят теперь найти многочлен с корнями, которые выражаются через корни исходного. А какая теорема связывает корни многочлена и его коэффициенты?

Второй вопрос, подсказка 4

Верно, конечно это теорема Виета. Выразите сначала коэффициенты P(t) через его корни. Потом запишите теорему Виета для нового многочлена. Осталось только всё выразить в удобном виде, подставить и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $P(−3)=− 18< 0,$ а $P(−1)=4 >0,$ то по теореме о промежуточном значении между $− 3$ и $− 1$ есть корень этого многочлена. $P(−1)=4 >0,$ $P (0)= −3< 0,$ значит, между $− 1$ и $0$ у многочлена есть корень. $P (0)= −3< 0,$ $P(5)=22> 0,$ значит, между $0$ и $5$ у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.