Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и функции на Звезде

Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Последовательности и функции на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69374

Последовательность функций задана формулами

---9--- f0(x)= 3sin x, fn+1(x)= 3− fn(x)

для любого целого $n≥ 0$ . Найдите $( ) f2023 π6$

Источники: Звезда - 2023, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Легко вычислить: $f (x)= f (x) 3 0$ , поэтому

----9---- f2023(x) =f1(x)= 3 − 3sin(x)

Следовательно, $( ) f2023 π6 =6$

Замечание.

Можно сразу вычислять значения функций в данной точке. Получится циклическая последовательность

( ) ( ) ( ) ( ) f0 π = 3; f1 π = 6; f2 π =− 3; f3 π = 3; ... 6 2 6 6 6 2

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания