Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Алгебраические текстовые задачи на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69373

Участник соревнований по триатлону на первом этапе плыл $1$ км. На втором ехал на велосипеде $25$ км, на третьем бежал $4$ км. Всю дистанцию он преодолел за $1$ час $15$ мин. Перед соревнованиями он опробовал трассу: плыл $1∕16$ часа, ехал на велосипеде и бежал по $1∕49$ часа, пройдя в сумме $5∕4$ км. На соревнованиях каждый этап он проходил с той же скоростью, что и на тренировке. Сколько времени он ехал на велосипеде и с какой скоростью?

Источники: Звезда - 2023, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорости спортсмена на разных участках за три различные переменные, а далее запишем систему уравнений, которая будет удовлетворять условию. Система выглядит как-то страшно, да и вообще переменных больше, чем уравнений. Хорошей идей здесь будет метод оценки, но подумайте, как его здесь можно применить и на что нам намекает тот факт, что в одном уравнении переменные в числителе, а в другом - в знаменателе.

Подсказка 2

Если мы сложим уравнения системы, то справа получим 5/2, а слева - три суммы, в которых переменные, то в числителе, то в знаменателе. При этом коэффициенты при переменных явно являются квадратами натуральных чисел. Такая конструкция нам намекает на применения одного классического неравенства для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными. Попробуйте догадаться, на какое именно.

Подсказка 3

Именно неравенство Коши в данном случае поможет нам оценить выражение в левой части уравнения. И если применить его для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными, то получится, что данное выражение не меньше 5/2. Но также мы знаем, что оно равно 5/2. Вспомните, при каком условии достигается равенство в неравенстве Коши.

Показать ответ и решение

Пусть $v ,v,v 1 2 3$ - скорости спортсмена на этапах $1,2,3$ соответственно. Из условия следует: $1-+ 25-+ 4-= 5 v1 v2 v3 4$ часа. $-1 1- -1 1- 5 16v1+ 16v1+ 49v2+ 49v3 = 4$ км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел $x,y$ выполнено неравенство $√ -- x+ y ≥ 2 xy$ , получим:

5 1 v1 25 v2 4 v3 2 =(v1 + 16)+ (v2 + 49)+ (v3 + 49)≥

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ( ) ≥ 2 1⋅-1 +2 25⋅ 1-+ 2 4⋅-1= 2 1+ 5+ 2 = 5 16 49 49 4 7 7 2

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

1- v1 25- v2 4- v3 v1 = 16;v2 = 49;v3 = 49

то есть $км км км- v1 = 4 ч ,v2 =35 ч ,v3 = 14 ч$

Ответ:

$2∕7$ часа со скоростью $14$ км/ч.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#109870

В $2052$ г. в марте воскресений больше, чем понедельников. На какой день недели выпадет $1$ июня $2052$ г.?

Источники: Звезда - 2020, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если воскресений больше понедельников, то можем точно сказать, на какой день недели выдался последний мартовский день в 2052 году.

Подсказка 2

Определили день недели у 31 марта, тогда ровно через 4 недели и через 8 недель будет тот же день недели, а там и до 1 июня недалеко:)

Показать ответ и решение

За воскресеньем идёт понедельник. Если в каком-то месяце воскресений оказалось больше, чем понедельников, то последний день месяца — воскресенье. Итак, $31$ марта $2052$ г. — воскресенье. Воскресенье выпадает также на $28$ апреля и $26$ мая, а $1$ июня будет суббота.

Ответ: На субботу

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания