Планиметрия на ЮМШ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Общий сюжет. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник 
. На меньшей дуге 
его описанной окружности выбирается
переменная точка 
. Точка 
симметрична точке 
относительно прямой 
. Луч 
пересекает отрезок 
в точке 
. Луч
пересекает отрезок 
в точке 
.
1. Докажите, что окружность 
, описанная около треугольника 
, проходит через фиксированную точку.
2. Известно, что в положении 
центр окружности 
лежит на отрезке 
, а в положении 
— на стороне 
.
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
. Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
3. Окружность 
вторично пересекает окружность 
в точке 
. Докажите, что прямая 
проходит через фиксированную
точку.
4. Докажите, что если 
, то расстояние от вершины 
до точки Торричелли треугольника 
не превосходит диаметра
окружности 
(при любом положении точки 
). Напомним, что точкой Торричелли треугольника 
называется такая точка 
,
что 
.
Источники:
Пункт 1, подсказка
Чтобы найти фиксированную четвертую точку на окружности, попробуем посчитать углы, чтобы найти вписанный четырехугольник! Точка D лежит на окружности, ее отражают, поэтому посчитать угол FD’E не составит труда! Какой угол может дополнять его до 180?
Пункт 2, подсказка 1
Если центр окружности лежит на AB или AC, то несложно найти точное расположение центра, т.к. отрезки на указанных прямых являются хордами окружностей. Хочется подробнее рассмотреть D1’ и D2’, а точнее углы, которые на них опираются. Найти их не сложно в силу того, что они лежат на окружности.
Пункт 2, подсказка 2
Углы CD1’A и BD2’A будут прямыми(почему?). Итак, два перпендикуляра к пересекающимся отрезкам пересекаются на рисунке, а нам хочется найти другую перпендикулярность. На какой объект это может намекать?
Пункт 2, подсказка 3
На ортоцентр! Сделаем так, чтобы точка пересечения BD2’ и CD1’ стала ортоцентром нового треугольника! Мы найден прямую, к которой перпендикулярен отрезок, одной из вершин которого является А - теперь мы ближе к тому, что нам нужно доказать! Осталось лишь доказать, что этот отрезок лежит на прямой AX, а третья сторона треугольника, в котором мы нашли ортоцентр, параллельна BC!
Пункт 3, подсказка 1
Тут хочется угадать ту самую фиксированную точку…очень часто на олимпиадах помогает сделать красивые и точные чертежи, чтобы попробовать хотя бы интуитивно узнать точку. Докажем, что все прямые будут проходить через середину BC.
Пункт 3, подсказка 2
Мы понимаем, что через точку М проходит прямая D’G, где G - точка пересечения окружностей. Доказывать вписанность там, где много окружностей и симметрии должно быть проще, чем доказывать, что прямая проходит через середину отрезка. Поэтому попробуем доказать, что точка пересечения MD’ с малой окружностью лежит на окружности ABC. Итак, чем же мы можем пользоваться? Вписанностью D’FAGE, а также тем, что M - середина, т.е. может помочь в симметрии. На правильные действия и на полезный подсчет углов может намекать и то, что точка D лежит на окружность ABC и симметрична D’ относительно BC.
Пункт 4, подсказка 1
Интересно, что благодаря точке Торричелли у нас появляется угол, который с углом A в сумме дает 180. Благодаря пункту 1) задачи мы понимаем, на какой окружности лежит точка Торричелли. Попробуем рассмотреть точку T’, изогонально сопряженную с точкой Торричелли. Что можно о ней сказать?
Пункт 4, подсказка 2
Она тоже лежит на окружности BD’C! Раз уж у нас есть окружностью, отметим ее центр N. Понятно, что он лежит на дуге BC. Не совсем понятно, как работать с самой точкой Торричелли, поэтому попробуем найти другой отрезок, равный AT. В этом нам могут помочь равные треугольники. Какие треугольники очень похожи на равные между собой?
Пункт 4, подсказка 3
Если треугольники ATN и AT’N равны, то AT=AT’. Пока не совсем понятно, что делать дальше, поэтому просто попробуем изобразить то, что узнали в предыдущем пункте задачи: точку M, G, через которую проходят прямые MD’(помним, что D’ лежит на той же окружности, где и T, T’. Отметим точку пересечения AM и окружностей BTC и ABC(K’ и K). Пока что видим только много симметрий, имеет смысл записать степень точки M и цепочку равенств. К какому выводу можно прийти?
Пункт 4, подсказка 4
Понимаем, что AGD’K вписанный. Теперь мы можем сравнивать AT’ и диаметр окружностей AGD’K. Значит, нам нужен диаметр. Точки T, T’, K - все лежат на одной окружности. Быть может, попробовать доказать, что какие-то из них совпадают?
Пункт 4, подсказка 5
Точка T’ на самом деле совпадает с точкой K! Осталось лишь осознать, почему AK не больше диаметра, который нам нужен)
1. Пусть 
. Тогда 
. Из симметрии 
, но тогда 
, то есть 
-
вписанный, то есть для любого выбора точки 
окружность 
проходит через фиксированную точку 
.
2. Если центр 
лежит на отрезке 
, то 
- диаметр, а 
- прямой. Тогда углы 
и 
- прямые. Рассмотрим
точку 
, симметричную точке 
относительно 
. Заметим, что если 
перпендикулярно 
, то и 
будет перпендикулярно
. Продлим 
до пересечения с 
в точке 
и 
до пересечения с 
в точке 
. Тогда 
и 
- высоты в
треугольнике 
, 
- его ортоцентр, 
- третья высота. Докажем, что 
: Действительно, из вписанности
. 
- вписанный (
), откуда 
перпендикулярно 
3. Докажем, что все прямые будут проходить через точку 
- середину 
. Будем доказывать с конца - проведём через точки 
и
прямую, и докажем, что она пересекает окружность 
в нужной нам точке. Пусть это точка 
. Отразим 
относительно точки
, получим точку 
. 
, поэтому 
попадёт на описанную окружность 
. Посчитаем углы:
так как 
- параллелограмм, 
как вписанные, 
как вертикальные, откуда
, то есть 
- вписанный, что и требовалось доказать.
4. Пусть 
- точка Торичелли треугольника 
. Заметим, что она лежит на дуге 
(так как 
Рассмотрим точку 
, изогонально сопряжённую точке 
. Заметим, что 
, и 
, откуда
, и точка 
лежит на дуге 
. Также заметим, что 
, откуда 
, то есть 
касается 
в точке 
. Тогда мы можем определить точку 
как точку пересечения двух окружностей, которые проходят через 
и
касаются 
в точках 
и 
соответственно.
Пусть 
- середина малой дуги 
. Докажем, что 
- центр окружности 
. Рассмотрим точку пересечения биссектрис 
. Тогда
, то есть 
также лежит на дуге 
, а по лемме о Трезубце мы знаем, что 
Заметим, что (по определению изогонального сопряжения) 
и 
будут симметричны относительно биссектрисы 
.
Тогда в треугольниках 
и 
: 
- общая, 
, 
. Тогда возможны две ситуации:
Треугольникии либо равны, либо сумма двух их углов равна 
Предположим, что вторая ситуация возможна. Тогда 
, но 
, 
, откуда 
. Противоречие, следовательно
треугольники 
и 
равны, и 
Пусть 
- середина 
. Проведём луч 
, который пересечёт дугу 
в некоторой точке 
и дугу 
в некоторой точке 
.
Тогда из симметрии 
. Через точку 
и произвольную точку 
на дуге проведем прямую, которая пересечёт окружность
в точке 
. (По доказанному ранее 
). Отразим 
относительно 
, получим точку 
Распишем степень точки:
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Откуда 
, то есть любая окружность 
проходит через точку 
.
Достроим 
до параллелограмма. Тогда
Это свойство выполнено и для точки 
, и для точки 
. Но такая точка всего одна, следовательно, они совпадают, а хорда
окружности всегда меньше или равна диаметру окружности!
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
