Планиметрия на ЮМШ

1. Пусть . Тогда . Из симметрии , но тогда , то есть - вписанный, то есть для любого выбора точки окружность проходит через фиксированную точку .

2. Если центр лежит на отрезке , то - диаметр, а - прямой. Тогда углы и - прямые. Рассмотрим точку , симметричную точке относительно . Заметим, что если перпендикулярно , то и будет перпендикулярно . Продлим до пересечения с в точке и до пересечения с в точке . Тогда и - высоты в треугольнике , - его ортоцентр, - третья высота. Докажем, что : Действительно, из вписанности . - вписанный (), откуда перпендикулярно

3. Докажем, что все прямые будут проходить через точку - середину . Будем доказывать с конца - проведём через точки и прямую, и докажем, что она пересекает окружность в нужной нам точке. Пусть это точка . Отразим относительно точки , получим точку . , поэтому попадёт на описанную окружность . Посчитаем углы: так как - параллелограмм, как вписанные, как вертикальные, откуда , то есть - вписанный, что и требовалось доказать.

4. Пусть - точка Торичелли треугольника . Заметим, что она лежит на дуге (так как Рассмотрим точку , изогонально сопряжённую точке . Заметим, что , и , откуда , и точка лежит на дуге . Также заметим, что , откуда , то есть касается в точке . Тогда мы можем определить точку как точку пересечения двух окружностей, которые проходят через и касаются в точках и соответственно.

Пусть - середина малой дуги . Докажем, что - центр окружности . Рассмотрим точку пересечения биссектрис . Тогда , то есть также лежит на дуге , а по лемме о Трезубце мы знаем, что

Заметим, что (по определению изогонального сопряжения) и будут симметричны относительно биссектрисы . Тогда в треугольниках и : - общая, , . Тогда возможны две ситуации:

Треугольникии либо равны, либо сумма двух их углов равна Предположим, что вторая ситуация возможна. Тогда , но , , откуда . Противоречие, следовательно треугольники и равны, и

Пусть - середина . Проведём луч , который пересечёт дугу в некоторой точке и дугу в некоторой точке . Тогда из симметрии . Через точку и произвольную точку на дуге проведем прямую, которая пересечёт окружность в точке . (По доказанному ранее ). Отразим относительно , получим точку Распишем степень точки:

Откуда , то есть любая окружность проходит через точку .

Достроим до параллелограмма. Тогда

Это свойство выполнено и для точки , и для точки . Но такая точка всего одна, следовательно, они совпадают, а хорда окружности всегда меньше или равна диаметру окружности!