Планиметрия на Изумруде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты 
и 
пересекаются в точке 
. Точки 
и 
— середины высот 
и 
.
Оказалось, что центр 
вписанной в треугольник 
окружности лежит на биссектрисе угла 
. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
Источники:
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
с общим углом при вершине 
. Они подобны, поэтому 
и
. Так как 
и 
, то 
, а значит, треугольники 
и 
подобны и
.
Последнее равенство означает, что биссектриса 
угла 
является также биссектрисой угла 
. Из точки 
опустим
перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно, а также перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно. Так как точка 
лежит на биссектрисе угла 
, то 
. Так как 
— центр вписанной в треугольник 
окружности, то 
. Прямые углы 
и 
опираются на отрезок 
, а значит, четырёхугольник 
вписанный и
, как вписанные.
Аналогично доказывается, что 
. По уже доказанному, 
, а значит, 
, из чего
следует равенство треугольников 
и 
. Отсюда получаем 
и 
, а значит,
треугольники 
и 
равны. Из равенства этих треугольников следует, что 
, а 
по свойству отрезков
касательных, а значит, 
, то есть треугольник 
равнобедренный. Из равнобедренности получаем 
, откуда
и треугольник 
— равнобедренный.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Точки 
и 
могли оказаться на отрезках 
и 
. Если они обе эти точки попали на отрезки 
и 
, то
решение получается аналогичным. Если
же одна точка попала на один из указанных отрезков, а вторая - нет, то центр 
вписанной в треугольник 
окружности не будет
лежать на биссектрисе угла 
. За отсутствие доказательства этого факта баллы не снижались.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
