Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Алгебраические текстовые задачи на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69821

Пешеход, велосипедист и мотоциклист едут по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход обгонял их на 4 км. В тот момент, когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист обгонял их на 6 км. На сколько километров велосипедист отставал от мотоциклиста в тот момент, когда мотоциклист обгонял пешехода?

Источники: САММАТ-2023, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, перед нами задачка на одновременное движение нескольких объектов. Можно было бы записать систему уравнений и пытаться как-то решать с её помощью, но есть еще один очень интересный способ. Давайте построим график S(t), да-да, именно так, как мы делаем это в физике.

Подсказка 2

Пускай график перемещения мотоциклиста пересекается с графиком велосипедиста в точке A, а график пешехода - в точке D. А графики перемещения велосипедиста и пешехода пересекаются в точке E. Пускай точка B - точка на графике пешехода в момент, когда мотоциклист встретился с велосипедистом, C - точка на графике велосипедиста в момент, когда мотоциклист встретился с пешеходом, а F - точка на графике мотоциклиста в момент, когда велосипедист встретился с пешеходом. Что мы можем сказать по данному рисунку про пары треугольников △ABE, △CDE и △ABD, △FDE?

Подсказка 3

Абсолютно верно, △ABE подобен △CDE, а △ABD подобен △FDE. Так же из условия нам известны расстояния AB и EF. Теперь воспользуйтесь подобиями и длинами расстояний, чтобы найти CD.

Показать ответ и решение

$PIC$

Построим схематично график движения.

По условию задачи $AB = 4$ км, $EF = 6$ км, а требуется найти $CD.$ Очевидно, что треугольники $ABD$ и $EDF$ подобны и их коэффициент подобия $k = 4= 2. 6 3$ С другой стороны, треугольники $ACD$ и $AEF$ также подобны и их коэффициент подобия равен

--2x--= 2 2x+ 3x 5

Значит, $CD =6 ⋅ 2= 2,4. 5$

Ответ: 2,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69863

В уравнении $ax= b$ параметры $a$ и $b$ выбираются наудачу соответственно из сегментов $0≤ a≤ m,0≤ b≤n.$ Какова вероятность того, что корень этого уравнения будет больше единицы при условии, что $m,n,a,b$ — натуральные числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что значит, что корень больше 1? И нужно ли нам рассматривать два случая в задаче? (ведь m может быть больше n, но может быть и наоборот)

Подсказка 2

Да, если корень больше единицы — это значит, что b больше a! Тогда давайте зададим координатную плоскость, где по одной оси будем откладывать все числа от 0 до n, а на другой — все числа от 0 до m! Тогда, если m ≤ n, то какие точки нам подойдут?

Подсказка 3

Верно, нам подойдут все точки(координаты которых натуральные числа), которые находятся выше прямой m = n. Тогда, точек которые не подходят под условие будет таких ровно m * (m+1) / 2. Осталось найти вероятность и разобраться со случаем когда m > n.

Подсказка 4

Если n < m, то нам тоже подойдут все точки, которые лежат выше прямой m=n, но посчитать нужно немного по-другому! Остаётся найти вероятность в таком случае.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Корень уравнения $ax = b$ больше единицы при условии $b> a.$ Будем рассматривать параметры $a$ и $b$ как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости( $a$ — ось абцисс, $b$ — ось ординат). Поскольку $a$ и $b$ натуральные $a >0, b> 0$ и поэтому число всех возможных испытаний равно $m⋅n.$

$PIC$

Если $m ≤n$ то число исходов, не благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

1+ 2+ 3+ ...+(m − 1)+ m = m(m-+1) 2

Значит, рассматриваемому событию благоприятствует

m-(m-+-1) mn− 2

исходов испытания, то есть $m- 2 (2n− m − 1)$ исходов. Поэтому вероятность $p$ находим из формулы

2n− m − 1 p= ---2n---

$PIC$

Если $n< m$ и $m > 2,$ то число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

n(n−-1) 1+2+ 3+ ...+ (n − 1)= 2

Следовательно,

n− 1 p= -2m-

Итого получаем $2n−2mn−1,$ если $m ≤ n$ и $n2−m1,$ если $m> n.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Вероятность каждого значения $a ∈{1,...m}$ равна $1m,$ вероятность каждого значения $b$ по аналогии будет $1n.$ Нам требуется найти вероятность того, что $b> a$