Увидеть треугольник
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для положительных чисел 
и 
докажите неравенство
Подсказка 1
Какое геометрическое представление имеет число sqrt{x^2-x+1}?
Подсказка 2
В какой формуле длина отрезка в целом выражается через корень какой-то суммы из трех слагаемых?
Подсказка 3
В формуле косинусов. Достаточно, чтобы стороны треугольника, к которому она применяется были равны 1 и x. Чему в таком случае должен быть равен угол между этими сторонами?
Подсказка 4
Должен быть равен 60 градусам. Проделайте аналогичные рассуждения для остальных множителей. Осталось расположить полученные треугольники в плоскости удобным образом. Как это сделать?
Подсказка 5
Для оценки x+y снизу хочется, чтобы на картинке появился отрезок длиной x+y. Тогда достаточно рассмотреть четырехугольник, диагонали которого пересекаются под углом 60 градусов и делятся на отрезки длины 1, 1 и x, y. Какое геометрический смысл имеет неравенство для данной иллюстрации?
Подсказка 6
Необходимо доказать оценку снизу на сумму произведений противоположных сторон четырехугольника. Какое известное неравенство позволяет это сделать?
Подсказка 7
Теорема Птолемея. Осталось показать, что другая часть неравенства суть произведение длин диагоналей.
Пусть 
в декартовой системе координат с центром 
Отметим точку 
на прямой через точку 
и
образующей с прямой 
угол 
так, что 
точку 
так, что 
По теореме косинусов для треугольника
Откуда 
Аналогично вычисляются другие стороны четырехугольника 
таким образом, доказываемое неравенство можно переписать в виде
что представляет из себя утверждение теоремы Птолемея для четырехугольника 
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
