Увидеть треугольник

по теореме косинусов это длина стороны напротив угла в в треугольнике, поэтому она является средней из трёх сторон. В связи с этим число получиться не может, потому что каждое полученное в результате данной операции простое будет меньше Поэтому наибольшее число, которое мы теоретически можем получить, это

Теперь приведём алгоритм, как получить 2011: будем последовательно выбирать два наибольших простых числа из всех, игнорируя Так всегда будет оставаться меньшее из этих чисел, поскольку большее остаться не может, при этом на каждом шаге мы рассматриваем два последовательных простых (это доказывается по индукции, поскольку на первом шаге мы оставим из пары и и так далее). То есть на каждом шаге при этом — последовательные простые, поэтому между ними других простых нет и мы будем выбирать

Наконец, останутся числа для них покажем, что подходит:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно чисто алгебраически доказать неравенство при условии Для этого достаточно возвести его в квадрат и использовать откуда сразу же получаем требуемое