Увидеть треугольник

Первое решение.

Отложим из одной точки отрезки с длинами соответственно так, чтобы

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения получаем, что Видим, что по теореме Пифагора треугольник прямоугольный причем его катет в два раза короче гипотенузы откуда следует равенства

Отметим точку — середину гипотенузы и точку что и точки и по разные стороны от

По построению треугольники и отличаются поворотом на с центром в точке Отметим точку в треугольнике соответсвующую точке в треугольнике Тогда Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник получается равносторонним, поскольку точки и отличаются поворотом на с центром в точке

Осталось отметить, что точки лежат на одной прямой, поскольку В итоге получаем, что

а может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим т.е.

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

Если обозначить то можно переписать предыдущее соотношения как

Теперь сложим все исходные равенства:

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

что означает

Домножением на получаем биквадратное уравнение

корнями которого являются Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством

Значит, остается т.е.