Увидеть треугольник

Первое решение. Введём переменные Тогда Подставим это в неравенство и уножим его на

Покажем, что числа положительные. Изначальное неравенство инвариантно относительно перестановки пременных, поэтому не умаляя общности положим, что Тогда очевидно, что и положительны. Если же при этом отрицательно, то изначальное неравенство верно, потому что левая часть неположительна, а правая — положительна. Поэтому будем считать, что также больше

В этом случае мы можем написать неравенства о средних: Осталось их перемножить и получить требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Выражение слева чем-то похоже на формулу Герона, не так ли? Давайте домножим неравенство на чтобы оно в точности стало ею:

Вспомним известные формулы площади через радиусы вписанной и описанной окружностей: Если подставить это в неравенство, поделить на и преобразовать, получим неравенство Оно следует из теоремы Эйлера про расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.