Теория чисел на Питергоре

Предположим противное. Пусть наборы

таковы, что сильнее сильнее сильнее Можно считать, что число наибольшее среди всех чисел этих трёх наборов. Для каждой тройки индексов посчитаем, сколько верных увтерждений имеется среди неравенств просуммируем эти числа по всем и обозначим полученную сумму через Тогда

поскольку всего имеется троек и в каждой тройке не больше двух верных неравенств. Далее заметим, что каждое неравенство присутствует в таких тройках, поэтому в сумме оно учтено раз. По предположению среди неравенств не меньше верных, поэтому вклад всех неравенств вида в сумму не меньше чем Аналогично вклад всех неравенств вида в сумму и вклад всех неравенств вида в сумму также не меньше чем Следовательно, суммарное количество верных неравенств не меньше чем

Сопоставляя это с неравенством заключаем, что в проделанных подсчётах все оценки являются равенствами. В частности, имеется в точности верных неравенств вида а в каждой тройке ровно два верных неравенства.

Рассмотрим теперь тройку чисел Среди неравенств должно быть ровно два верных. Поскольку — наибольшее число неравенство неверно, т.е. выолняется неравенство Значит, все неравенства вида верные и всего их штук. Но это противоречит тому, что их Стало быть, наше предположение неверно.