Теория чисел на Питергоре

Первое решение.

Разобьём плоскость на единичные квадраты линиями целочисленной решетки. Проведем прямую через начало координат и точку Поскольку она имеет рациональный угловой коэффициент и проходит через какой-то узел решетки. Точка вида — это любая рациональная точка этой прямой. Проведем прямую через такую точку и левый нижний угол той клетки, в которую попала эта точка. Угловой коэффициент этой прямой равен как раз

Совместим между собой все единичные квадраты, в которых есть точки прямой В полученном квадрате прямая отобразится конечным количество отрезков, параллельных исходной прямой.

Предположим, что и одного знака. Тогда полученные отрезки имеют положительный угловой коэффициент. Один из них выходит из левого нижнего узла квадрата. Ясно, что из этого узла можно провести луч с положительным рациональным коэффициентом который пересечет верхнюю или нижнюю сторону квадрата, не встретив по дороге точек ни одного из наших отрезков. Это число нельзя представить в нужном виде.

Пусть, наоборот, числа и разного знака. Тогда наши отрезки имеют отрицательный угловой коэффициент. Один из них выходит из левого верхнего узла квадрата. Несложно понять, что один из этих отрезков соединяет точку на левой стороне квадрата с точкой на его нижней стороне. На рациональных точках этого отрезка реализуются все возможные положительные рациональные угловые коэффициенты!

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Так как в качестве можно взять любое положительное рациональное число, можно считать, что числа и целые. В этом случае замена числа на его дробную часть не изменит отношения значит, можно дополнительно считать, что Наконец, замена r на соответствует смене знаков чисел и поскольку

Таким образом, достаточно рассмотреть лишь случай, когда — натуральное число.
Пусть также является натуральным числом. Покажем, что уравнение

не имеет решений относительно Домножив на знаменатели и выразив дробную часть через целую, получим уравнение

или, что то же самое,

Но это уравнение не может иметь решений, поскольку левая часть положительна и меньше а правая часть целая. Следовательно, если числа и одного знака, то требуемое не найдётся.
Пусть является отрицательным целым числом. Достаточно показать, что уравнение

для любых натуральных чисел и имеет вещественное решение Тогда

и, значит, является решением линейного уравнения

для некоторого целого и, в частности, должно быть рациональным числом. Домножив уравнение на знаменатели и воспользовавшись тем, что получим уравнение

При правая часть равна нулю и поэтому меньше левой. А при близких к обе дробные части также будут близки к поэтому правая часть будет близка к и, в частности, будет больше левой. Следовательно, при некотором промежуточном правая часть будет равна левой. Поэтому если числа и разных знаков, то требуемое обязательно найдётся.