Теория чисел на Питергоре
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число 
назовём почти квадратом, если 
можно представить в виде 
где 
и 
— натуральные числа, причем
Докажите, что для бесконечно многих натуральных 
среди чисел 
нет почти
квадратов.
Источники:
Подсказка 1
Если покрутить конструкцию на конкретных числах, то на уровне общих соображений, то всё становится достаточно понятно: "почти квадраты" лежат очень близко к квадратам (мы можем оценить это с помощью неравенств) и ясно, что с увеличением а у нас будут увеличиваться промежутки, на которых искомых чисел лежать не может. Но как же собрать это в строгое доказательство?
Подсказка 2
Попробуем пойти от противного. Какое утверждение обратно к нашему?
Подсказка 3
Разобьём натуральный ряд на отрезки по 199 чисел. Обратным к искомому будет утверждение о том, что во всех таких отрезках, кроме конечного количества с, будет содержаться "почти квадрат".
Сколько "почти квадратов" будет среди чисел от 1 до n²?
Подсказка 4
Получим оценку с двух сторон: оценка снизу связана с с, а оценку сверху построим из того, что b натурально и лежит в определённом промежутке. Осталось посмотреть, выполнима ли эта оценка при достаточно больших n.
Предположим противное. Разобьем натуральный ряд на отрезки по 
чисел. Тогда во всех отрезках, кроме, быть может, конечного
количества 
имеется почти квадрат. Отсюда следует, что среди чисел от 
до 
количество почти квадратов не меньше чем 
где 
— некоторая константа. С другой стороны, каждый такой почти квадрат имеет вид 
где 
![[ a-]
b∈ a,a + 100 ,](/api/latex-service/v1/GetSession/131154/index-be23bdc711febd65c5a5fb591c3253fb.svg)
поэтому их
количество не больше чем
при достаточно большом 
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
