Теория чисел на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумму
записали в виде десятичной дроби. Найдите первую цифру после запятой.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте представить каждое слагаемое в виде разности так, чтобы большинство членов взаимно уничтожались. Для этого достаточно посмотреть на последние множители числителя и знаменателя.
Подсказка 2
Итак, вы получили разность 2/3 и какой-то большой дроби. Эту дробь хочется оценить. Глобальная идея такая: попробуйте рассмотреть ещё какие-то дроби, похожие на неё и оцените её снизу и сверху произведениями этих дробей (которые должны быть равны чему-то более-менее простому, то есть большинство множителей должно сократиться).
Подсказка 3
Пусть дробь, которую нужно оценить, равна C, а четыре другие — A, B, D, E. Подберите их так, что A < B < C < D < E и ABC < C³ < CDE.
Для начала упростим данную сумму. Каждое слагаемое запишем в виде разности
Тогда вся сумма телескопически сократится до разности крайних слагаемых
Решение 1.
Оценим вычитаемое. Заведем переменные
Мы хотим оценить величину числа 
Поскольку 
при натуральных 
выполняются неравенства 
откуда
Подставив в эти неравенства формулы для наших чисел и сократив дроби, получим
Тогда
и значит,
Таким образом, первая цифра после запятой исходного числа равна 
Решение 2.
Оценим с двух сторон выражение
Для этого заметим, что
Действительно,
поэтому левое неравенство очевидно. Для проверки правого достаточно установить, что
последнее сразу видно после умножения на 
и раскрытия скобок.
Неравенства 
позволяют оценить произведение 
сверху и снизу. Действительно,
поэтому
Аналогично
Поэтому
Итак, 
и, значит, 
первая цифра после запятой равна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
