Теория чисел на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность 
задана условиями
Докажите, что 
делится на 
при 
Источники:
Подсказка 1
Будем исследовать степень вхождения простого p в элементы последовательности. Пусть k - первый номер, для которого a_k делится на p. Тогда что можно сказать про k+2-й член последовательности?
Подсказка 2
Степень вхождения p в него хотя бы на 1 больше, чем в a_k. Аналогично можно получить, что степень вхождения в (k+2n)-ый член последовательности, больше хотя бы на n. Нам нужно проверить, что для всех p a_m-ый член последовательности имеет степень вхождения p хотя бы в m раз больше, чем m-ый.
Подсказка 3
Заметим, что m и a_m одной чётности, тогда мы хотим понять, что (a_m - m) это достаточно много, чтобы степень вхождения p точно получилась большой.
Пусть простое число 
входит в 
в 
-й степени. Докажем, что 
делится на 
Тогда утверждение задачи будет
выполнено.
Пусть 
— первое число в нашей последовательности, кратное 
Если 
то 
и 
Следовательно,
Заметим, что для 
будет 
и выведенное сравнение тоже выполнено.
Итак, 
а тогда дальше в последовательности чередуются остатки 
и 
от деления на 
Более того, как видно из последнего вычисления, степени числа 
на которые делятся члены последователыности, растут: если 
делилось на 
то 
делится на 
и т. д. Отсюда следует, что если 
делится на 
то 
делится на 
Кроме того,
учтем, что числа 
и 
одинаковой четности, поскольку 
и остатки по модулю 
чередуются. Следовательно, 
делится на 
Остается заметить, что 
при 
(это значит, что 
существенно крупнее 
) и
так как делится на 
(это значит, что 
существенно крупнее 
), поэтому 
, откуда следует
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
