Теория чисел на Питергоре

Пусть простое число входит в в -й степени. Докажем, что делится на Тогда утверждение задачи будет выполнено.

Пусть — первое число в нашей последовательности, кратное Если то и Следовательно,

Заметим, что для будет и выведенное сравнение тоже выполнено.

Итак, а тогда дальше в последовательности чередуются остатки и от деления на

Более того, как видно из последнего вычисления, степени числа на которые делятся члены последователыности, растут: если делилось на то делится на и т. д. Отсюда следует, что если делится на то делится на Кроме того, учтем, что числа и одинаковой четности, поскольку и остатки по модулю чередуются. Следовательно, делится на Остается заметить, что при (это значит, что существенно крупнее ) и так как делится на (это значит, что существенно крупнее ), поэтому , откуда следует требуемое.