Теория чисел на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано простое число 
Все натуральные числа от 1 до 
выписаны в ряд в порядке возрастания. Найдите все 
для
которых этот ряд можно разбить на несколько блоков подряд идущих чисел так, чтобы суммы чисел во всех блоках были
одинаковы.
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрев случаи при маленьких p, понимаем, что p = 2 не походит. Ага, значит p нечётное. Раз наш ряд - это подряд идущие натуральные числа, то его сумму мы можем легко посчитать. Попробуйте по значению суммы определить, на какое кол-во блоков делится наш ряд или какая сумма чисел в блоке.
Подсказка 2
Сумма ряда равна p(p+1)/2. Значит, либо кол-во блоков, либо сумма чисел в блоке делится на p. Что сразу можно сказать про первый случай?
Подсказка 3
Верно! Он просто невозможен. Ведь тогда у нас p блоков, в каждом только по одному числу. Значит, суммы везде разные. Тогда верен второй вариант. Попробуйте рассмотреть первый блок и понять, когда возможно то, чтобы сумма чисел в нём делилась на p.
Подсказка 4
Если в первом блоке k чисел, то сумма чисел в блоке равна k(k+1)/2. Значит, k+1 = p. Тогда у нас второй блок - это только число p. Попробуйте записать равенство сумм первого и второго блоков.
Очевидно, 
не подходит, поэтому 
нечётно. Поскольку сумма всех чисел равна 
она делится на 
Значит, либо количество
блоков делится на 
либо сумма чисел в каждом блоке делится на 
Первый случай невозможен, поскольку тогда блоков ровно 
и они
все состоят из одиночных чисел, а значит, во всех блоках разные суммы. Следовательно, сумма чисел в каждом блоке делится на 
Рассмотрим первый блок, пусть последнее число в нём равно 
тогда сумма чисел в этом блоке равна 
и она делится на 
Это возможно, только если 
Тогда второй блок состоит лишь из числа 
и должно выполняться равенство 
поэтому
Это возможно: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
