Теория чисел на Питергоре
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Саша перемножил все делители натурального числа 
Федя увеличил каждый делитель на 
а потом перемножил результаты. Федино
произведение нацело делится на Сашино. Чему может быть равно 
Источники:
Подсказка 1
Обозначим делители числа n следующим образом: 1 = d₀ < d₁ < ... < dₖ = n. Как тогда записывается условие?
Подсказка 2
(d₀ + 1)...(dₖ₋₁ + 1)(dₖ + 1) делится на d₀ ⋅ d₁ ⋅ ... ⋅ dₖ . Рассмотрим отдельно dₖ + 1 = n + 1. Какую особенность оно имеет по отношению к делителям числа n?
Подсказка 3
Верно! Оно просто на них не делится. Тогда какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 4
(d₀ + 1)...(dₖ₋₁ + 1) делится на d₀ ⋅ d₁ ⋅ ... ⋅ dₖ . Но мы же знаем, что d₁ ≥ d₀ + 1, ..., dₖ ≥ dₖ₋₁ + 1. Какой вывод из этих двух фактов можно сделать?
Подсказка 5
Что d₀ ⋅ d₁ ⋅ ... ⋅ dₖ ≥ (d₀ + 1)...(dₖ₋₁ + 1) и (d₀ + 1)...(dₖ₋₁ + 1) ≥ d₀ ⋅ d₁ ⋅ ... ⋅ dₖ (из делимости). Что тогда?
Подсказка 6
d₀ ⋅ d₁ ⋅ ... ⋅ dₖ = (d₀ + 1)...(dₖ₋₁ + 1), а значит, во всех неравенствах из подсказки 4 достигается равенство. Кажется, это очень сильное условие. Как бы нам его применить?
Подсказка 7
dₖ₋₁ = n - 1. То есть n делится на n - 1. Дело осталось за малым. Успехов!
Пусть Сашино число имеет делители 
Заметим, что число 
взаимно просто со всеми этими делителями,
поэтому число 
должно делиться на 
При этом 
и так далее
Перемножив эти неравенства, получим, что делимое не превосходит своего делителя, а это возможно только в том случае,
когда все неравенства обращаются в равенства. Но тогда 
т. е. 
делится на 
Значит, либо 
либо
числа 
не существует и 
или 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
