Алгебраические текстовые задачи на Питергоре

Пример.

Одну из сторон разобьём на отрезков длины а другую — на отрезков длины и оставшийся отрезок длины . Тогда только прямоугольников с узкой стороной длины имеют площадь меньше
Оценка.

Первый способ
Пусть одна из сторон разбита на отрезки длины а другая — на отрезки Рассмотрим числа , В силу неравенства сумма всех этих чисел не превосходит половины суммы всех и т.е. не превосходит Поэтому найдётся такой номер что Но тогда и для всех пар при тоже выполнено неравенство причём количество таких пар равно Это значит, что все прямоугольники со сторонами и имеют площадь не больше и число этих прямоугольников не меньше
Второй способ
Пусть одна из сторон разбита на отрезки длины а другая — на отрезки Для удобства будем считать, что отрезки занумерованы остатками от деления на Возьмём произвольное от до и рассмотрим выражение

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца оно не превосходит

Следовательно, и значит, одно из его слагаемых не превосходит Стало быть, мы доказали существование прямоугольника малой площади, у которого номера сторон различаются ровно на А поскольку может быть любым числом от до существует не менее таких прямоугольников.