Алгебраические текстовые задачи на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадрат разрезан на красные и синие прямоугольники. Сумма площадей красных прямоугольников равна сумме площадей синих. Для каждого синего прямоугольника запишем отношение длины его вертикальной стороны к длине горизонтальной, а для каждого красного прямоугольника — отношение длины его горизонтальной стороны к длине вертикальной. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех записанных чисел.
Источники:
Подсказка 1
Для начала попробуйте порешать задачу на несложных разрезаниях и угадать ответ. Не умаляя общности, будем считать, что сторона исходного квадрата равна 1. Понятно, что в этой задаче нам пригодится обозначить каждую из сторон каждого прямоугольника с помощью переменных. Давайте сделаем это так: a_k, b_k — соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон k-го синего прямоугольника, а c_k, d_k — аналогично у красных. Какие равенства можно записать по условию и что нам нужно максимизировать?
Подсказка 2
Запишем условие на равенство сумм площадей (кстати, несложно посчитать, чему равны такие суммы!). Если стороны всех прямоугольников не превосходят 1, то как тогда можно оценить нужные нам суммы отношений при помощи сумм площадей?
Подсказка 3
Суммы отношений вертикальных сторон к горизонтальным не меньше, чем суммы площадей, т.е. не меньше 1/2! Заметим, что при самом тривиальном разрезании (на 2 равных прямоугольника) одна из сумм именно такая! А что если это — и есть наилучшее разрезание? Теперь попробуем оценить суммы отношений горизонтальной стороны к вертикальной. Что можно сказать про суммы одинаково ориентированных сторон?
Подсказка 4
Хотя бы одна из сумм сторон a_k или d_k не меньше 1! Пусть это верно для a_k. Осталось понять, при помощи какого неравенства можно показать, что сумма отношений a_k/b_k хотя бы 2.
Подсказка 5
Попробуем использовать неравенство Коши-Буняковского, чтобы использовать сумму a_k
Разрежем единичный квадрат на два равных прямоугольников, сделаем один из них синим, а другой красным. Тогда одно отношение равно
а другое — 
Поскольку в задаче фигурируют только отношения длин сторон, можно считать, что исходный квадрат имел сторону 1. Тогда суммарная
площадь прямоугольников каждого цвета равна 
Занумеруем синие прямоугольники числами от 
до 
а красные
прямоугольники числами от 
до 
Пусть 
и 
— соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон 
го синего
прямоугольника, а 
и 
— соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон 
го красного прямоугольника.
Тогда
Так как стороны всех прямоугольников не превосходят 
имеем
Теперь достаточно показать, что хотя бы одна из сумм 
и 
не меньше 
Начнём с того, что справедливо хотя бы одно из двух
неравенств
И в самом деле, спроецируем синие прямоугольники на вертикальную сторону квадрата, а красные — на горизонтальную. Если,
например, 
то какой-то промежуток на горизонтальной стороне квадрата не будет покрыт проекциями красных
прямоугольников. Тогда полоса над этим промежутком полностью синяя, так как в неё не могут залезать красные прямоугольники.
Следовательно, сумма длин вертикальных сторон синих прямоугольников, покрывающих эту полосу, не меньше 
и, значит,
Пусть для определённости верно первое из неравенств (*). Тогда по неравенству Коши - Буняковского
Следовательно, 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
