Алгебраические текстовые задачи на Питергоре

Разрежем единичный квадрат на два равных прямоугольников, сделаем один из них синим, а другой красным. Тогда одно отношение равно а другое —

Поскольку в задаче фигурируют только отношения длин сторон, можно считать, что исходный квадрат имел сторону 1. Тогда суммарная площадь прямоугольников каждого цвета равна Занумеруем синие прямоугольники числами от до а красные прямоугольники числами от до Пусть и — соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон го синего прямоугольника, а и — соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон го красного прямоугольника. Тогда

Так как стороны всех прямоугольников не превосходят имеем

Теперь достаточно показать, что хотя бы одна из сумм и не меньше Начнём с того, что справедливо хотя бы одно из двух неравенств

И в самом деле, спроецируем синие прямоугольники на вертикальную сторону квадрата, а красные — на горизонтальную. Если, например, то какой-то промежуток на горизонтальной стороне квадрата не будет покрыт проекциями красных прямоугольников. Тогда полоса над этим промежутком полностью синяя, так как в неё не могут залезать красные прямоугольники. Следовательно, сумма длин вертикальных сторон синих прямоугольников, покрывающих эту полосу, не меньше и, значит,

Пусть для определённости верно первое из неравенств (*). Тогда по неравенству Коши - Буняковского

Следовательно, и