Комбинаторика на Питергоре

Социальная сеть представляет собой граф, в котором люди - это вершины, а отношение “дружба” — ребра. Достаточно рассмотреть случай, когда этот граф является деревом. В требованиях условия задачи группу, в которой состоит от до членов, будем называть малой, а группу, где от до членов, — большой. Докажем утверждение задачи индукцией по числу пользователей сети. База индукции: Если в сети не более пользователей, объявим их всех малой группой. Если в сети от до пользователей, назначим малой группой любого пользователя, соответствующего висячей вершине, а всех остальных запишем в большую группу.

Индукционный переход. Достаточно проверить, что если число пользователей больше то можно подобрать большую группу, при удалении которой граф останется связным. Подвесим наше дерево и рассмотрим наиболее далекую от корня вершину (одну из вершин), у которой больше потомков. У каждого из сыновей вершины не более потомков, при этом количество сыновей — не более Если у каждого из сыновей не более потомков, то в сумме у не более потомков, что противоречит выбору вершины Значит, один из сыновей имеет от до потомков, назначим его и его потомков большой группой.