Многочлены на Питергоре

Заметим, что многочлен принимает каждое действительное значение не более 3 раз, так как у него степень ровно 3. Если — корень , то — корень квадратного трёхчлена 6 корней у многочлена достигаются только в том случае, если у есть 2 различных корня, каждый из которых достигается ровно трижды многочленом . Скажем, — корни , — корни многочлена , — корни многочлена . Тогда справедливо следующее:

Понятно, что , как коэффициенты при . Рассмотрим коэффициент при у левой и правой части равенства:

Предположим, что наши корни различны. Но тогда одно и то же натуральное число представимо в двоичной системе счисления двумя разными способами — противоречие. Значит, рассматриваемый многочлен не мог иметь 6 различных корней, являющихся степенями двойки.