Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.08 Первообразная и площадь под кривой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#278

$F (x)= 2x4− x3+ 7x− π$ — одна из первообразных функции $f(x).$ Найдите $f(1).$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F ′(x).$ Тогда $f(x)= 8x3− 3x2+7,$ откуда $f(1) =12.$

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#279

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(0,5;8,5).$ Определите по рисунку количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[2,5;5,5].$

$PIC$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F′(x),$ тогда уравнение $f(x)= 0$ равносильно $F ′(x)= 0.$ Производная функции равна 0 в точности в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси $Ox.$

По рисунку видно, что на отрезке $[2,5;5,5]$ касательная к графику $y = F(x)$ параллельна оси $Ox$ в точках с абсциссами $x= 4$ и $x= 5.$ Таких точек две.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#677

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(− 1,1;8,3).$ Определите по рисунку количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[−1;6].$

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку видно, что на отрезке $[−1;6]$ касательная к графику $y =F (x)$ параллельна оси $Ox$ в точках с абсциссами $x = −0,5,$ $x= 1,$ $x = 2,$ $x= 3,$ $x = 5.$ Таких точек пять.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1596

Известно, что $F(x)= x3− 2x+ 7$ — одна из первообразных функции $f(x).$ Найдите $f(0).$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F ′(x).$ Тогда имеем:

2 f(x)= 3x − 2

Отсюда получаем $f(0) = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1597

Известно, что $F(x)= x5− x4+ x3− x2+ x− 2016$ — одна из первообразных функции $f(x).$ Найдите $f(− 1).$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F ′(x).$ Тогда имеем:

4 3 2 f(x)= 5x − 4x + 3x − 2x + 1

Отсюда получаем $f(−1)= 15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1598

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(0,2;8,8).$ Определите по рисунку количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[1,5;7,5].$

$0xy−123456789−−−−−−−1176543210000000000000000$

Показать ответ и решение

По рисунку видно, что на отрезке $[1,5;7,5]$ касательная к графику $y = F (x)$ параллельна оси $Ox$ в точках с абсциссами $x = 2,$ $x= 4,$ $x = 5,$ $x= 6.$ Таких точек четыре.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#20153

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $f(x),$ определённой на интервале $(−10;12).$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[− 9;9].$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $F (x)$ — одна из первообразных функции $f(x),$ то

′ f(x)= 0 ⇔ F (x)= 0

Производная $′ F (x)$ равна нулю в точках, в которых касательная к графику функции $y = F (x)$ расположена горизонтально. Таких точек на отрезке $[−9;9]$ ровно 6.

$PIC$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1599

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ Вычислите по рисунку $F(0) − F (2),$ где $F (x)$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь под графиком неотрицательной функции $f(x)$ от точки $x= a$ до точки $x= b$ равна $F(b)− F (a),$ где $F (x)$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$

Рассмотрим выражение

F(0)− F(2)= −(F(2)− F(0))

Это взятая с минусом площадь под графиком $y = f(x)$ от точки $x =0$ до точки $x= 2.$

Площадь под графиком $y = f(x)$ от точки $x =0$ до точки $x= 2$ равна 6, тогда

F(0)− F(2)= −6

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1600

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ Функция $1 3 5 2 √-- F (x) = 3x − 2x + 7x+ π$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь под графиком неотрицательной функции $f(x)$ от точки $x= a$ до точки $x = b$ равна $F (b)− F(a),$ где $F(x)$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна

( ) 1 3 5 2 √-- F(3)− F(0)= 3 ⋅3 − 2 ⋅3 + 7⋅3+ π − ( √-) − 1⋅03− 5 ⋅02+ 7⋅0+ π = 9− 45 +21 =7,5 3 2 2

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2695

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ Вычислите по рисунку $F(3) − F (− 1),$ где $F(x)$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Таким образом, $F (3)− F(− 1)$ — площадь под графиком $y = f(x)$ от точки $x= −1$ до точки $x= 3.$

Площадь под графиком $y = f(x)$ от точки $x= − 1$ до точки $x =3$ равна сумме площадей прямоугольной трапеции и прямоугольного треугольника.

Тогда имеем:

F(3)− F(−1)= 5+ 4= 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2696

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ Функция $1 3 2 F (x)= 3x − 3x +10x$ — одна из первообразных функции $y = f(x).$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

$PIC$

Показать ответ и решение

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна $F(4)− F(1)= 6.$

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20154

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ Пользуясь рисунком, вычислите $F (11)− F(4),$ где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x).$

$PIC$

Показать ответ и решение

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

∫11 F(11)− F (4)= f(x)dx 4

Заметим, что такой интеграл равен площади под графиком функции $f(x)$ на отрезке $[4;11].$ Значит, нам нужно найти площадь выделенной фигуры, состоящей из прямоугольного треугольника и двух прямоугольников:

$PIC$

Тогда имеем:

1∫1 F (11)− F(4)= f(x)dx = S = 2+ 16+ 15= 33 4

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#20155

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f(x).$ Функция $F (x)= x3 +24x2+ 199x− 12 5$ — одна из первообразных функции $f(x).$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

$0−−xy 160$

Показать ответ и решение

Нам нужно найти площади под графиком функции $f(x)$ на отрезке $[− 10;− 6].$ Такая площадь равна интегралу $−∫6 −10f(x)dx.$ По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

∫−6 f(x)dx= F (− 6)− F (−10)= − 10 ( 12) ( 12-) = − 216 +864− 1194− 5 − −1000+ 2400− 1990 − 5 = 44

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#20718

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x),$ определённой на интервале $(−3;6).$ Найдите количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[− 2;5].$

$xyy6−110 =3 F (x)$

Показать ответ и решение

По определение первообразной $f(x)= F′(x),$ то есть решением уравнения $f(x)= 0$ будут точки экстремума функции $F(x),$ которые помечены на графике. Получим семь точек.

$xyy6−110 =3 F (x)$

Ответ: 7

Предыдущий раздел

Следующий раздел