Количество, сумма, произведение делителей

Напомним, что количество делителей числа (здесь написано каноническое разложение на простые сомножители) равно .

Заметим, что кратно 20. Если в разложении числа есть простой множитель , не меньший 11, то число делителей делится на , а значит, содержит в разложении хотя бы десятую степень простого числа — т.е. уже хотя бы четырёхзначное. Аналогично, если делится на 7, то содержит в разложении хотя бы шестую степень простого числа . Если , то не является трёхзначным, если же , то должно делиться на , т.е. тоже больше 1000.

Итак, искомое число равно , причём

Если , то одно из чисел делится на 5. Из ранее озвученных соображений (остальные варианты приводят к не менее чем четырёхзначному числу). Итак, делится на . Легко видеть, что числа 400 и 800 не подходят.

Тогда , и , или . Число в 40 раз меньше , т.е. оно не меньше 3 и не больше 25. Таких чисел не очень много: . Перебрав эти варианты, получим, что подходит только 12 , т.е. .