Количество, сумма, произведение делителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько различных делителей у числа 
?
Подсказка 1
Выписывать вручную все делители числа точно плохая идея... Давайте попробуем для начала разложить наше число в каноническом виде. В нём будут степени 2, 3, 5 и 7. Но что тогда такое делитель этого числа?
Подсказка 2
Верно, это какое-то число, в разложении которого на простые множители содержатся 2, 3, 5 и 7(в каких-то степенях). Вот, например, некоторые делители этого числа: 10, 15, 70, 420. А давайте думать, как будто мы не считаем их количество, а "собираем" сами(как конструктор), только тогда нам нужно ни одно не пропустить. У нас есть определённые "детали" – это степени чисел, потому что если степень простого другая, то и делитель уже другой. Подумайте из какого множества мы выбираем наши степени? Как можно их интерпретировать?
Подсказка 3
Ага, степени простых в наших делителях просто не может превышать те, которые у нашего исходного числа, иначе это не делитель. Но тогда у нас есть 4 "прозрачных мешочка" с возможными степенями чисел 2, 3, 5 и 7, откуда мы выбираем по одному и комбинируем между собой. Осталось тогда только посчитать с точки зрения комбинаторики, сколькими способами мы можем выбрать степень из каждого "мешочка" и перемножить между собой, так как выбор у нас независимый.
Представим число 
в каноническом виде (разложение на простые множители):
Что такое делитель числа? Это какое-то число, каноническое разложение которого имеет вид: 
, так как если в разложении
делителя не могут появиться простые числа, не входящие в число 
Также на числа 
есть ограничения: 
, так как в делителе числа степень каждого простого
множителя не может превышать степень этого простого в исходном числа (иначе на делитель не поделилось бы, что невозможно по
определению). Заметим, что именно такой вид имеют все делители нашего числа, значит, нам всего лишь остается посчитать количество
способов выбрать такие 4 числа 
(как мы уже увидели: каждая четверка задает какой-то делитель нашего числа, и наоборот,
каждый делитель описывается такой четверкой чисел).
Вариантов выбрать четверку таких чисел ровно 
, так как способов выбрать число 
из чисел от 0 до 7 — 8,
аналогично остальные степени. Осталось заметить, что если два делителя совпадали бы, то совпадали и их степени простых в
каноническом разложении (то есть наши четверки чисел), однако у нас все четверки различны, значит, и все делители
различны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
