Количество, сумма, произведение делителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для натурального числа 
выписаны все его натуральные делители 
в порядке возрастания 
Обозначим количество натуральных делителей числа 
через 
Найдите все возможные значения 
если известно, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, что можно сделать с большими по номеру делителями. Например мы знаем, что если p - наибольший делитель, а q - наименьший, то p = N/q. Как развить эту идею?
Подсказка 2
Вот пусть у N ровно n ≥ 1697 делителей. Тогда p₁₆₉₇ = N/pₙ₋₁₆₉₇₊₁, p₁₆₉₆ = N/pₙ₋₁₆₉₆₊₁. Тут уже при перемножении мы получаем N² и это хорошо. Но еще получаем в знаменателе два подряд идущих делителя. При каких n это все еще будет выполняться условие?
Подсказка 3
Если n уже ≥ 1700, то внизу будет стоять ≥ p₄⋅p₅, что больше чем p₃⋅p₄, то есть наше выражение будет уже < N². Остается n < 1700, и несложным перебором можно найти примеры на эти n и найти число делителей у N³)
По основной теореме арифметики 
представляется единственным образом в виде:
Тогда из правила произведения, поскольку мы каждую степень простого числа 
выбираем 
способами, то
Из условия следует, что 
Разберем несколько случаев:
- 1.
-
Пусть
Тогда:
Значит,
То есть условие выполняется.
Так как
простое число, то из формулы для 
следует, что 
(в противном случае 1697 было бы
составным).Таким образом,
- 2.
-
Пусть
Тогда:
Значит,
То есть условие выполняется.
Так как
и
то:
- 3.
-
Пусть
Тогда:
Значит,
То есть условие выполняется.
Так как
простое число, то из формулы для 
следует, что 
(в противном случае 1699 было бы
составным).Таким образом,
- 4.
-
Пусть
Тогда 
Следовательно, 
Таким образом, этот случай
невозможен.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
