Количество, сумма, произведение делителей

Пусть , где нечетно. Тогда

Заметим, что все множители в этом разложении взаимно просты, так они нечетны и каждый из них, уменьшенный на 2, равен произведению всех следующих. Следовательно, количество делителей числа равно произведению количеств делителей у множителей. Всего множителей и все они больше единицы, поэтому если ни один из множителей не является точным квадратом, то количество делителей у каждого множителя четно. Тогда количество делителей числа делится на , а не делится на . Таким образом, один из множителей должен являться точным квадратом. Так как среди натуральных чисел не может быть двух последовательных квадратов, то квадратом является или , или . При этом и тоже не является квадратом. Значит, , . Обе скобки не могут одновременно делиться на 3, поэтому одна из них делится на , откуда разность между скобками хотя бы при . Очевидно, тоже не подходит.