Количество, сумма, произведение делителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обозначим за 
сумму всех делителей числа 
(включая само число). Для каких 
выполняется неравенство 
Подсказка 1
Для начала напишите формулу для δ(n) через разложения числа n на степени простых.
Подсказка 2
Попробуйте из этой формулы вывести, что при умножении чисел n, m на число взаимно простое с ними, числа δ(n), δ(m) тоже умножаются на одно и то же число. Из этого следует, что достаточно рассматривать числа какого-то конкретного вида. Какого?
Подсказка 3
Правильно, достаточно найти решения для n = 3^l * 2^k. Теперь рассмотри дробь δ(8n)/δ(9n) и будем выяснять, когда она больше 1. Знаменатель очевидно больше 9, а при каких k числитель не меньше 9?
Подсказка 4
Верно при k ≤ 2. А что будет если l =0? А если больше?
Запишем 
в каноническом виде: 
Тогда 
Отсюда видно, что при домножении или делении числа 
на какой-то множитель, взаимно простой с числами 
или 
(то есть, не
кратный 
и 
), правая и левая части неравенства 
изменяются в одинаковое количество раз. Значит, нам достаточно найти
все решения вида 
— всё остальное можно получить из них домножением на какое-то число 
не делящееся ни на 
ни на
Тогда
Их частное должно быть больше 
Знаменатель этой дроби всегда больше 
Числитель же равен 
при 
и и меньше 
при больших 
Осталось разобрать два
случая: 
и 
При 
имеем:
Правая часть равна 
при 
При 
правая часть не больше 
Значит, 
при 
и 
При 
имеем:
Это равенство всегда верно. Таким образом, у нас есть две серии ответов.
или 
где 
— целое неотрицательное число, а 
— натуральное число, не делящееся ни на 
ни на
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
