Количество, сумма, произведение делителей

Заметим, что поэтому сумма всех делителей числа равна Поэтому нам надо поделить делители в группы с суммой Подойдут группы , и все оставшиеся числа.

Докажем теперь, что делители чисел меньше нельзя поделить на три группы с равной суммой. Для этого докажем, что если меньше то сумма делителей числа меньше Поскольку у всегда есть делитель, равный то сумма в одной группе должна быть хотя бы на этом и будет построено противоречие.

Вспомним, что сумма делителей числа равняется

Следовательно

В неравенстве мы заменили конечную сумму геометрической прогрессии на бесконечную.

Пусть теперь — некоторое число. Если у то

поскольку число тем больше, чем меньше

Аналогично, если то

Итак, если то в разложение входит хотя бы 3 простых числа. Поскольку уже то нас интересуют лишь в разложении которых ровно три простых числа.

Если среди этих простых чисел нет если среди них нет и то значит есть; если нет то значит и есть; если нет то значит и есть. Тогда (добавление ещё одного простого сделает больше ), сумма делителей которого равна Значит, обязательно делится на

Пусть третий простой делитель Заметим, что поскольку мы ищем то домножить мы можем максимум на Итак, получили всего немного вариантов: или , или , или

В первом случае при получаем при получаем а

Во втором случае,

Если то

Отсюда что неверно.

Аналогично, в третьем случае

Отсюда должно быть хотя бы что неверно при