Количество, сумма, произведение делителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти сумму максимальных нечетных делителей каждого из целых чисел на отрезке ![[61;120]](/api/latex-service/v1/GetSession/160496/index-80dff19fb6eb872c128f3ad5dc2dfe26.svg)
.
Источники:
Подсказка 1
Интересно, что чисел от 61 до 120 ровно столько же, сколько нечётных от 1 до 120.
Подсказка 2
Чем нечётные отличаются от чётных? Наличием степени двойки. Тогда как удобно представить все числа?
Подсказка 3
Из первого замечания про количество нечётных хочется посмотреть, а сколько чисел вида n * 2ᴷ для каждого нечётного n (меньшего 120) лежит в промежутке от 61 до 120.
Подсказка 4
Оказывается, для каждого такого n одно своё n * 2ᴷ в промежутке от 61 до 120. Попробуйте понять, почему это так, и досчитать искомую сумму нечётных n!
Для каждого нечетного числа 
в промежутке 1 до 119 рассмотрим числа вида 
, где 
Докажем, что для каждого 
найдётся ровно одно число вида 
на промежутке от 61 до 120.
Пусть на нашем промежутке не нашлось нужного числа. Тогда должна найтись такая пара чисел 
,
что
что невозможно, поскольку из первого следует, что
Тогда из нашего утверждения следует, что для любого нечётного числа 
, меньшего 120, найдётся число от 61 до 120, что его
наибольшим нечетным делителем будет 
. Причём для каждого 
такое число уникально. При этом нечётных чисел от
1 до 120 ровно 60, как и чисел от 61 до 120. Получается, что искомая сумма равна сумме всех нечётных чисел от 1 до
120.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
