Количество, сумма, произведение делителей

Назовем проходом с номером изменение состояний каждой -той камеры. Рассмотрим камеру с номером . Найдем сколько раз она меня свое состояние с открытой на закрытую или наоборот. Пусть камера поменяла свое состояние на проходе с номером , тогда номер камеры делится на . Таким образом, камера с номером меняла свое состояние столько раз, сколько различных делителей она имеет.

Заметим, что после каждой нечетной смены состояний камеры она является открытой, а после каждой четной — закрытой. Таким образом, в конце камера будет открыта тогда и только тогда, когда количество смен ее состояний, то есть количество делителей ее номера является нечетным числом. Докажем, что число имеет нечетное количество делитей тогда и только тогда, когда является полным квадратом. Как известно, число делителей числа равно — нечетное число, но тогда число нечетно при всех , следовательно, каждое из чисел при всех делится на 2, то есть степень вхождения любого простого числа в четна, а значит является квадратом. Аналогично, если суть полный квадрат, то числа при всех делятся на 2, следовательно, — нечетно.

Наконец, открытыми будут те и только те камеры, номера которых есть полный квадрат, то есть 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.