Количество, сумма, произведение делителей

Если в разложение входит двойка в некоторой степени, отбросим её, так как мы работаем только с нечётными делителями. Если то каждому делителю вида поставим в соответствие число нетрудно понять, что оно имеет вид Тогда в этом случае чисел вида действительно не меньше, чем чисел

Теперь пусть Докажем задачу индукцией по количеству простых чисел, входящих в

База, когда в не входят простые числа, т.е. очевидна. Пусть теперь — степень простого числа. Если это простое вида то всё тривиально. Если же оно вида то является квадратом, в противном случае будет иметь вид Тогда делители можно разбить на пары

Переход: если включает в себя простое число вида в некоторой степени, выкинем его. В оставшемся числе делителей вида не меньше делителей Возврат простого числа увеличивает количество и тех, и тех делителей в одинаковое количеств раз, а значит утверждение по-прежнему верно.

Пусть теперь в входят только простые числа вида Если хотя бы одно простое число входит в чётной степени выкинем его и для каждого оставшегося делителя рассмотрим делители Среди них равное количество делителей вида и поэтому условие верно.

Если же все простые входят в нечётной степени, то выкинем из два простых числа и Для оставшегося числа и числа работает предположение. Пусть у оставшегося числа делителей вида и делителей вида (). У числа — и Тогда при перемножении появилось делителей вида и делителей По транснеравенству очевидно, что значит в этом случае переход также доказан.