Количество, сумма, произведение делителей

(a) Предположим противное, пусть делится на конечное число простых чисел Заметим, что при число не делится ни на одно из этих простых чисел и оно явно больше значит оно либо делится на простое число, которого нет в наборе, либо является им, пришли к противоречию.

(b) Пусть у числа наибольший простой делитель равен Можно считать, что меньше Если оказалось, что то вместо подставим Причём по-прежнему делится на и при этом Тогда наибольший простой делитель числа точно подходит к условию. Таким образом для каждого при котором условие не выполняется, можно подобрать для которого оно справедливо.

Теперь предположим, что существует лишь конечное количество значений для которых условие верно: Продолжим подставлять до тех пор, пока не получим выражение с наибольшим простым делителем на который не делится ни одно выражение Рано или поздно мы его получим, это следует из предыдущего пункта. Тогда либо полученное либо на самом деле удовлетворяет условию, пришли к противоречию, а значит получили требуемое.