Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2027 в ряд так, что для любого 
сумма первых 
чисел в этом ряду
нацело делится на 
-е число в ряду?
Источники:
Подсказка 1
Для начала полезно попробовать решить задачу для каких-нибудь маленьких чисел. Тогда мы сможем получить идеи, как построить пример или получить противоречие.
Подсказка 2
Для маленьких чисел у нас всё получилось, поэтому попробуем построить пример. Сумма всех чисел делится на 2027, так что 2027 можно поставить в конец. Без 2027 сумма будет 2027*1013, так что предпоследним хочется поставить именно 1013. Что будет дальше?
Подсказка 3
Оставшаяся сумма 2026*1013, так что можно поставить 2026, причем 1013 = (2027-1)/2, то есть половина от 2027. Теперь осталось продолжить пример и доказать, что он работает.
Рассмотрим следующую последовательность чисел:
На нечетных позициях стоит последовательность чисел от 1014 до 2027, на четных — последовательность чисел от 1 до 1013. Покажем, что этот пример удовлетворяет условию задачи.
Пусть 
тогда перепишем ряд в следующем виде:
Покажем делимость на 
сгруппируем крайние члены:
Каждая такая сумма кратна 
что и требовалось.
Покажем теперь делимость на 
вычислим частичную сумму этого ряда:
По формуле суммы арифметической прогрессии получаем
где каждое слагаемое делится на 
Да, можно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
