Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Решение 1: Выберем целые числа такие что:

Для фиксированного рассмотрим пару с минимальным значением Обозначим Тогда квадратное уравнение относительно

Если существует другой корень то:

Если то это противоречит условию минимальности поэтому не может быть положительным целым. По формуле Виета:

что делает целым. Из неравенства:

следует Тогда:

Таким образом, всегда является полным квадратом.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2: Предположим противное: пусть не является квадратом. Без ограничения общности Выберем пару с минимальной суммой Рассмотрим квадратное уравнение:

Его корни и удовлетворяют:

Пусть тогда второй корень:

Так как не квадрат, Подставляя в исходное уравнение:

Так как то Из следует что противоречит минимальности Следовательно, обязано быть квадратом.