Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Подсказка 1

Обратим внимание на число Aₙ = 111...1 (из n единиц в записи). Что произойдет, если умножить его на однозначное число (например, 3 · 111 = 333)?

Подсказка 2

Представим, что число a не больше, чем Aₙ₊₁ − 1. Можно ли выразить a через Aₙ и какие-то остатки так, чтобы существенная часть суммы уже была ровным числом? Обратите внимание, что Aₙ точно остается ровным после домножения на любое однозначное число.

Подсказка 3

Выберем такое наибольшее натуральное q ≤ 9, что a = qAₙ + r для некоторого натурального r. Что тогда можно сказать про величину r?

Подсказка 4

По неравенству a ≤ 10Aₙ верно, что r ≤ Aₙ. Это может быть намек на индукцию, только вести ее надо не по количеству знаков в числе, да и придется предположение немного усилить.

Подсказка 5

Докажем по индукции более сильное утверждение: любое число a ≤ Aₙ можно представить как сумму не более чем n ровных чисел.