Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела теория чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128018

Докажите, что для каждого натурального n  существуют такие целые числа a
 n  и b
n  , что

(1+ √5)n   a + b√5-
 --2--   = -n-2n---.
Показать доказательство

Докажем индукцией по n,  что такие числа a
 n  и b
 n  существуют, причём они будут одной чётности.

База для n= 1  очевидна. Докажем переход от n  к n+ 1.

(    √-)n+1  (    √-)n (   √-)
  1+--5     =  1+--5    1+--5
    2            2        2

По предположению индукции существуют такие an  и bn,  что

(1 +√5 )n  an+ bn√5
 --2--   = ----2---

Тогда

( 1+√5-)n+1  (an +bn√5) (1 +√5-)  (an+ 5bn)+ (an +bn)√5
  --2--    =  ----2---   --2--  = ---------4---------

Пусть an+1 = an+52bn  и bn+1 = an+2bn.  Из предположения индукции an+1  и bn+1  — целые числа, причём одной чётности. Переход доказан.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!