Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про натуральные числа 
и 
известно, что 
делится на 
Докажите, что 
Подсказка 1
Соотношение делимости и требуемое равенство связаны. Можно ли эту делимость переписать иначе, так, чтобы получилось уравнение?
Подсказка 2
Условие a² + b² + 1⋮ab можно переписать как a² + b² + 1 = kab для некоторого натурального k. Попробуй рассмотреть это соотношение как уравнение относительно a, фиксируя b. На что похоже получившееся уравнение?
Подсказка 3
Составим квадратный трехчлен, одним из корней которого является a:
Подсказка 3
Воспользовавшись прыжками Виета, можно прийти к крайним случаям. Какими они будут?
Подсказка 4
В случае b = 1 нельзя совершить очередной прыжок. Стоит исследовать получившееся уравнение.
Если 
то 
должно делить 
но они взаимно просты. Откуда 
и поэтому 
выполняется. В
дальнейшем без потери общности считаем, что 
Пусть
Рассмотрим пару 
с минимальной суммой 
среди всех решений. Рассмотрим
как квадратное уравнение относительно 
одним из корней которого является 
По формулам Виета второй корень может быть
представлен в виде:
Первое представление показывает, что 
является целым числом, а второе представление, что это число положительно. Неравенство
влечёт, что
если 
что противоречит минимальности пары 
Рассмотрим 
При этом значение 
должно делить 
и поэтому 
равно 
или 
Случай 
невозможен,
поскольку 
В случае 
имеем
Получаем, что
то есть 
для всех упорядоченных пар 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
