Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если для некоторых натуральных чисел 
, 
, 
выполнено равенство 
, то 
— точный
квадрат.
Подсказка 1
В задачах на теорию чисел очень неудобно работать с дробями, лучше переписать его. Если на полученное равенство посмотреть как уравнение относительно каждой переменной, то что можно заметить?
Подсказка 2
Составим квадратное уравнение, где a — корень:
Подсказка 3
Второй корень можно выразить как (b² − k) / a. Если k не точный квадрат, что можно сказать о нем, например в сравнении с a?
Предположим, что существует какое-то решение, для которого 
не является точным квадратом. Для такого значения 
рассмотрим
решение 
с минимальной суммой 
Без потери общности можно считать, что 
Переписывая выражение для 
и
заменяя 
на 
получаем квадратное уравнение:
По построению 
является корнем этого уравнения. По формулам Виета второй корень может быть представлен в
виде:
Из первого выражения для 
следует, что 
является целым числом, а из второго — что 
(поскольку 
не является
квадратом). Так как
то 
является положительным. Наконец, из 
следует:
что противоречит минимальности решения 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
