Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа 
таковы, что
Докажите, что число 
является точным квадратом.
Подсказка 1
Введем d = a² + b² - abc. Условие |d − 2| < c ограничивает значения d. Тогда стоит пойти от противного, путь d — не полный квадрат.
Подсказка 2
Рассмотри многочлен:
Подсказка 3
x₂ = bc − a или x₂ = (b² − d)/a
Подсказка 3
Исследуем x₂ на положительность. Используем для этого уравнение x₂² − (bc)x₂ + (b² - d) = 0, можно ли из него получить неравенство без d?
Подсказка 4
Верно ли, что x₂ < a?
Обозначим
Тогда 
Зафиксируем 
и 
Рассмотрим все пары положительных целых чисел 
удовлетворяющих уравнению
Выберем пару 
с минимальным значением суммы 
и без ограничения общности будем считать, что 
Рассмотрим квадратное уравнение относительно 
Очевидно, что 
является корнем. По теореме Виета, второй корень 
удовлетворяет соотношениям:
Предположим, что 
не является полным квадратом, тогда 
Из представления 
следует, что 
целое.
Покажем, что 
так как 
получаем, что 
– натуральное.
Теперь покажем, что 
Теперь рассмотрим пару 
Она удовлетворяет исходному уравнению:
Тогда получается
что противоречит минимальности суммы 
Следовательно, предположение о том, что 
не является точным квадратом,
неверно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
