Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128452

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что число $a2+-b2- ab− 1$ целое. Докажите, что оно равно $5.$

Показать доказательство

Обозначим

a2+-b2 k= ab − 1 .

По условию $k∈ ℕ.$ Рассмотрим пару $(a,b)$ с минимальной суммой $a+ b$ среди всех решений. Без ограничения общности будем считать, что $a≥ b.$

Запишем уравнение:

a2− kb⋅a+ (b2+ k)=0.

По теореме Виета, если $a$ — корень, то второй корень $′ a$ удовлетворяет:

a+ a′ = kb, aa′ =b2+ k.

Отсюда:

′ ′ b2+k a =kb− a, a = --a--.

Пара $(a′,b)$ также является решением. Из минимальности суммы $a+b$ следует:

2 a′= b-+-k≥ a =⇒ b2+ k≥ a2 =⇒ k≥ a2− b2 ≥ 0. a

Тогда:

a2+ b2 =k(ab− 1)≥ (a2− b2)(ab− 1)= ab(a2− b2)− a2+b2

2a≥ b(a2− b2)= (a − b)(a+ b)b

Случай 1: $a =b.$ Подставим $a =b :$

2a2 =k(a2− 1).

Так как $gcd(a2,a2 − 1)= 1,$ то $a2− 1|2.$ Возможные варианты:

$pict$

Решений нет.

Случай 2: $a >b.$

2a ≥(a− b)(a+ b)b> (a − b)ab =⇒ (a− b)b< 2.

Тогда $b =1,$ $a =2.$

2 2 aab+−b 1-= 5.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse