Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Пусть

Рассмотрим выражение по модулю 19:

Заметим, что по малой теореме Ферма это выражение даёт остатки 0, 2 или 3 по модулю 19. Остаток 1 невозможен, поскольку из делимости двух чисел на 19 следует и делимость третьего. Переберём остатки по модулю 19 и поймём, что остатки 2 и 3 квадраты давать не могут, поэтому и делятся на 19:

0	0	0	10	100	5
1	1	1	11	121	7
2	4	4	12	144	11
3	9	9	13	169	17
4	16	16	14	196	6
5	25	6	15	225	16
6	36	17	16	256	9
7	49	11	17	289	4
8	64	7	18	324	1
9	81	5

Таким образом, можно вынести и сократить, получив такое же уравнение. Бесконечно так продолжаться не может, значит, единственное решение нулевое.