Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Разумеется, если удовлетворяет условию задачи, то и тоже для всех натуральных (символом в литературе обозначают последовательность ). Поэтому достаточно найти одну пару в последовательности такую, что  – далее можно рассмотреть последовательность найти в ней пару элементов и так далее. Отметим, что среди любых последовательных чисел, первое из которых не меньше хотя бы одно является элементом последовательности. Теперь, рассмотрим таблицу

где

и так далее. Отметим, что если два числа находятся в одном столбце и , то Действительно, по индукции нетрудно доказывается, что любое делится на все элементы таблицы в строчках поскольку каждое есть произведение всех элементов в -ой строке. При этом является суммой нескольких каждое из которых находится в строчке с большим индекcом, чем значит

Рассмотрим теперь первые строчки таблицы. По замечанию, в каждой из них есть хотя бы один элемент последовательности, причем, поскольку любые две строчки не пересекаются по элементам, все они различны. Согласно принципу Дирихле, существует столбец, в котором находятся хотя бы два элемента последовательности. По доказанному, один из них делится на другой, что и требовалось.