Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Ясно, что множество является удачным. Таким образом, достаточно показать, что любое удачное множество содержащее все числа вида для любых содержит и все целые числа.

Сперва заметим, что и Теперь поскольку это корень из и поскольку это корень из Кроме того, если то является корнем поэтому достаточно доказать, что все натуральные числа находятся в

Теперь мы утверждаем, что любое целое положительное число является делителем некоторого числа в Действительно, пусть где и нечетно. Тогда поэтому где как обычно, функция Эйлера. Кроме того, и поэтому содержит кратное каждому положительному целому числу

Теперь по индукции докажем, что все натуральные числа лежат в База индукции была доказана ранее. Теперь предположим, что более того, пусть кратно в Рассмотрим разложение по основанию

Поскольку для каждого мы получаем, что все находятся в Более того, поскольку кратно Следовательно, поэтому — корень многочлена с коэффициентами из Это говорит нам о том, что завершая индукцию.