Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что из множества 
можно выбрать 
чисел, никакие три из которых не образуют арифметическую
прогрессию.
Подсказка 1
Если не получилось явно придумать, какие числа следует выбрать из множества, имеет смысл попробовать доказать утверждение индукцией по n. База очевидна, осталось придумать, как будем делать переход.
Подсказка 2
Пусть по предположению индукции для n можно выбрать какие-то 2ⁿ чисел. Нужно их как-то размножить, чтобы получить вдвое больше чисел и притом, мы умели объяснять, что не образовалось арифметической прогрессии из трёх чисел. Отметим, что наша граница теперь увеличена примерно в 3 раза.
Подсказка 3
Тогда можно, например, рассмотреть такой набор чисел: выбранные, умноженные на три и выбранные, умноженные на три, минус два. Осталось пояснить, почему не образовалось арифметической прогрессии.
Докажем утверждение задачи индукцией по 
База для 
верна: можно взять числа 
и 
Пусть мы умеем выбирать 
чисел
среди чисел 
с выполнением требуемого условия. Рассмотрим числа 
и числа
Заметим, что новые 
чисел различны, и все они не превосходят 
Предположим, что среди этих
чисел некоторые три образуют арифметическую прогрессию. Тогда два из них давали одинаковый остаток при делении на 
Но тогда и
третье число обязано давать тот же остаток при делении на 
Если это были числа 
то тогда бы и числа 
образовывали
бы арифметическую прогрессию, что противоречит выбору 
Аналогично получаем противоречие, если все три числа дают
остаток 
при делении на 
Значит, новые выбранные числа нам подходят. Переход доказан.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
