Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Решим сначала уравнение

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Умножим на 4 и прибавим 1 к обеим частям, чтобы выделить полный квадрат справа:

Теперь домножим обе части на 5 и выделим полный квадрат слева:

Сделаем замену . У получившегося уравнения

имеются решения

где — числа Фибоначчи (мы пользуемся нумерацией при всех целых ). На самом деле

равно для всех , что легко проверить по индукции: при это выполняется, а если , то и

(Можно доказать с помощью теории уравнений Пелля, что не имеет других решений.)

Теперь нужно найти бесконечно много и таких, для которых соответствующие и целые. Заметим, что последовательность остатков чисел Фибоначчи по модулю 10 периодична (так как пара ( ) может принимать конечное количество вариантов по модулю 10, а остаток следующего и предыдущего чисел Фибоначчи однозначно определяются по остаткам этой пары). Кроме того, и подходят, они соответствуют тривиальному решению . Значит, уравнение имеет бесконечно много решений.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Осталось понять, что они все не могут обнулять знаменатель. Действительно, если — решение уравнения , при котором , то и . Следовательно, . Так как целое, то обязательно (иначе ), а значит, и . Остальные пары нам подходят.