Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число 
Назовем натуральное число 
удачным, если существуют такие целые числа 
и 
что 
и 
Докажите, что, если существует удачное натуральное число, то все натуральные числа —
удачные.
Подсказка 1
Какой способ является самым естественным при доказательстве того, что каждый элемент из множества объектов удовлетворяет некоторому условию, если известно, что среди элементов этого множества существует по крайней мере один, удовлетворяющий данному условию?
Подсказка 2
Метод математической индукции. Пусть число n является удачным. Докажем, что тогда n-1 так же является удачным. Каким способом это можно сделать?
Подсказка 3
Существование объекта проще всего доказать, если явно предъявить его. Если число n является удачным, то существуют числа x, y, z, что x+y+z=2^n, 4^n-k=3(xy+yz+zx). Давайте выразим числа a, b, c, которые удовлетворяют условию a+b+c=2^{n-1} и 4^{n-1}-k=3(ab+bc+ca), через уже существующие числа x, y, z. Каким популярным образом можно ввести числа a, b, c, зная, что их сумма ровно в два раза меньше суммы чисел x, y, z.
Подсказка 4
Пусть a=(x+y-z)/2, b=(x-y+z)/2, a=(-x+y+z)/2. Рассмотрение данных чисел естественно, поскольку в треугольнике со сторонами x, y, z, числа a, b, c являются длинами касательных из вершин треугольника ко вписанной окружности. Сумма их длин как раз в два раза меньше суммы длин сторон. Осталось показать, что 4^{n-1}-k=3(ab+bc+ca).
Докажем, что если натуральное число 
является удачным, то и 
является удачным. Возьмем 
Заметим, что все три таких числа целые, поскольку 
— четное. Понятно, что 
и
следовательно,
С другой стороны понятно, что если 
— удачное, то взяв 
по аналогичным соображениям получим, что
также удачное. Поскольку увеличениями и уменьшениями исходно числа на 
можно получить любое натуральное число,
заключаем, что все натуральные числа являются удачными.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
