Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— натуральное число. Докажите, что 
можно представить в виде суммы 
попарно различных натуральных делителей
Подсказка 1
Откуда брать столько различных делителей n! с суммой n! непонятно, потому логично доказывать утверждение по индукции. Вот только всё ещё при переходе нужно где-то брать новый делитель.
Подсказка 2
Например, при переходе можем делители, на которые разбит n!, домножить на n+1 и один делитель разложить в сумму двух меньших. Но почему его можно разложить так, что все делители по-прежнему различны? Хочется усилить доказываемое утверждение.
Подсказка 3
Будем доказывать, что искомое разложение в сумму делителей существует и содержит 1. Тогда из домноженных на n+1 делителей, как раз n+1 можно представить в виде суммы 1 и n.
Докажем следующее усиленное утверждение индукцией по 
можно представить в виде суммы 
попарно различных натуральных
делителей 
один из которых равно 
База индукции: 
Предположение индукции: пусть верно, что для 
существуют попарно различные делители 
Обозначим их 
в
сумме дающие 
Переход: докажем утверждение для 
Заметим, что
Тогда возьмём числа
Они являются делителями 
по предположению (более того,
). Также по предположению индукции
их сумма как раз 
среди чисел есть 
а все делители,
начиная с 
как были различны, так и остались. Причём 
так что они отличаются и от 
Переход
доказан.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
