Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94058

При любом $n$ найдите сумму (упростите выражение до вида без многоточий и знаков суммирования):

1 2 2 2 n−12 1 − 2 +3 − 4 + ...+(−1) n.

Показать ответ и решение

Посчитаем, чему равна сумма для $n,$ равного $1,2,3,4,5:$

12 =1 12 − 22 = −3 2 2 2 12 − 22+ 32= 62 12 − 22+ 32− 42= −120 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 15

Внимательно рассмотрев вычисления для малых значений $n,$ можно предположить, что сумма для любого $n$ равна

(n−1) n(n-+1)- (−1) ⋅ 2

Докажем это с помощью индукции.

База. Для $n =1$ мы уже проверили выше.

Переход. Пусть формула верна для $n,$ докажем её для $n+ 1.$ По предположению индукции

n(n +1) 12− 22 +32− 42+...+(−1)(n−1)n2 =(−1)(n−1)--2----

Запишем сумму для $n+ 1:$

12− 22+ 32− 42 +...+ (−1)(n−1)n2+ (−1)n(n+ 1)2 =(−1)(n−1)n(n-+1)+ (−1)n(n+ 1)2 2

Случай 1: Пусть $n$ нечётное, тогда

n(n-+1)- 2 ( n) (n-+1)(n-+2)- − 2 + (n +1) = (n +1) n+ 1− 2 = 2

Случай 2: Пусть $n$ чётное, тогда

n(n +1) ( n ) (n+ 1)(n+ 2) --2---− (n+1)2 = −(n+ 1)n +1 −2 = −-----2-----

Формула суммы для $n +1$ выполняется, значит, индукционное предположение доказано.

Ответ:

$(−1)(n−1)⋅ n(n-+1) 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse